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Flächenberechnung / Flächeninhalt
(nach und nach werden es mehr Formeln für die Flächenberechnung / den Flächeninhalt)
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Flächen in der Ebene kann man aus bekannten Längenwerten und oder Winkeln berechnen. Nachfolgend Formeln zur Flächenberechnung.
Für alle Flächenformeln:
A = Flächeninhalt
U = Umfang
D = Diagonalenlänge
a, b, c, d = Seitenlängen
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Quadrat:
1. alle Seiten sind gleich lang
2. alle Winkel sind rechte Winkel (90°) |
Flächeninhalt: A = a²
oder A = a * a
Umfang: U = 4 * a
Diagonalenlänge: D = a * √2
weitere Formeln: Formel Quadrat
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Rechteck:
1. gegenüberliegende Seiten verlaufen parallel
2. gegenüberliegende Seiten sind gleich lang
3. alle Winkel sind rechte Winkel (90°)
4. beide Diagonalen sind gleich lang |
Flächeninhalt: A = a * b
Umfang: U = 2 * a + 2 * b
oder U = 2 * (a + b)
Diagonalenlänge: D = √a² + b²
weitere Formeln: Formel Rechteck
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Rhombus / Raute:
1. alle vier Seiten sind gleich lang
2. gegenüberliegende Seiten verlaufen parallel
3. gegenüberliegende Winkel sind gleich groß
4. nebeneinander liegende Winkel ergeben 180°
5. Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und halbieren einander
6. Innenwinkel werden durch die Diagonalen halbiert |
(e und f sind die Diagonalen,
die Höhe h ist der Abstand zwischen den parallel verlaufenden Seiten)
Flächeninhalt: A = e * f / 2
oder A = h²
oder A = h * h
weitere Formeln: Formel Rhombus
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Parallelogramm:
1. gegenüberliegende Seiten verlaufen parallel
2. gegenüberliegende Seiten sind gleich lang
3. gegenüberliegende Winkel sind gleich groß
4. nebeneinander liegende Winkel ergeben 180°
5. jede Diagonale teilt es in zwei kongruente Dreiecke |
(ha und hb - sind die Höhen im Winkel von 90° über a und b)
Flächeninhalt: A = a * ha
oder A = b * hb
Umfang: U = 2 * a + 2 * b
oder U = 2 * (a + b)
weitere Formeln: Formel Parallelogramm
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Trapez:
1. mindestens zwei parallel zueinander verlaufende Seiten = Grundseiten. Die beiden anderen Seiten bezeichnet man als Schenkel
2. es gibt je zwei benachbarte Winkel welche 180° ergeben (Supplementwinkel) |
(die Höhe h ist der Abstand zwischen den beiden parallel verlaufenden Seiten)
Flächeninhalt: A = (a + c ) / 2 * h
Umfang: U = a + b + c + d
weitere Formeln: Formel Trapez
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gleichschenkliges Trapez:
wie Trapez und zusätzlich:
1. die Schenkel sind gleich lang
2. ein gleichschenkliges Trapez kann auch ein Parallelogramm sein
3. neben den beiden Supplementwinkeln welche 180° ergeben sind die anderen beiden benachbarten Winkel gleich groß (symmetrisches Trapez) oder ergeben 180° (Parallelogramm)
4. im symmetrischen Trapez sind die Diagonalen gleich lang |
(die Höhe h ist der Abstand zwischen den beiden parallel verlaufenden Seiten)
Flächeninhalt: A = (a + c ) / 2 * h
Umfang: U = a + b + c + b
weitere Formeln: Formel gleichschenkliges Trapez
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rechtwinkliges Trapez:
wie Trapez und zusätzlich:
1. mindestens zwei nebeneinander liegende rechte Winkel |
Flächeninhalt: A = (a + c ) / 2 * d
Umfang: U = a + b + c + d
weitere Formeln: Formel rechtwinkliges Trapez
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konvexes Viereck:
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Vorgaben wie vier Seiten und ein Innenwinkel sind mehrdeutig! Die dem vorgegebenen Winkel gegenüberliegende Ecke kann dann konvex oder konkav sein! Hat man mehrere Winkel und Seitenlängen rechnet man den Flächeninhalt am besten über die durch einzeichnen der Diagonalen sich ergebenen Dreiecke.
weitere Formeln: Formel konvexes Viereck
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Drachenviereck (Deltoid):
1. ist symmetrisch zu einer Diagonalen
2. Diagonalen stehen senkrecht aufeinander
3. ein Paar gegenüberliegende Winkel sind gleich groß
4. zwei Paare gleich lange benachbarte Seiten |
(e und f sind die Diagonalen)
Flächeninhalt: A = e * f / 2
Umfang: U = 2 * a + 2 * b
oder U = 2 * (a + b)
weitere Formeln: Formel Drachenviereck
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allgemeines Dreieck:
1. Summe der Innenwinkel = 180°
2. a + b > c |
(hc - ist die größte Höhe im Winkel von 90° über c)
Umfang: U = a + b + c
Flächeninhalt: (U = a + b + c)
A = √0,5U(0,5U-a)(0,5U-b)(0,5U-c)
oder
(β - Winkel zwischen a und b)
A = 0,5 * a * b * sin β
oder
A = c * hc / 2
A = 0,5 * hc * c
weitere Formeln: Formel allgemeines Dreieck
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rechtwinkliges Dreieck:
wie allgemeines Dreieck und zusätzlich:
1. ein rechter Winkel 90°
2. die beiden andere Winkel zusammen 90°
3. a² + b² = c² |
Flächeninhalt: A = 0,5 * a * b
oder
A = a * b / 2
Umfang: U = a + b + c
weitere Formeln: Formel rechtwinkliges Dreieck
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gleichseitiges Dreieck:
1. alle drei Seiten sind gleich lang
2. alle 3 Innenwinkel haben jeweils 60° |
(ha - ist die größte Höhe im Winkel von 90° über a)
Flächeninhalt: A = a² / 4 * √3
oder
A = a * ha / 2
A = 0,5 * ha * a
Umfang: U = 3 * a
weitere Formeln: Formel gleichseitiges Dreieck
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gleichschenkliges Dreieck:
a = Schenkel | b = Basis
1. mindestens zwei Seiten sind gleich lang
2. zwei Winkel gleich groß
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(hb - ist die größte Höhe im Winkel von 90° über b)
Flächeninhalt:
A = 0,5 * b * √a² - b² / 4
oder
A = b * hb / 2
A = 0,5 * hb * b
Umfang: U = 2 * a + b
weitere Formeln: Formel gleichschenkliges Dreieck
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Kreis:
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(d = Durchmesser | r = Radius |
pi=3.141592...)
Flächeninhalt: A = pi * r²
oder A = pi * d² / 4
Umfang: U = pi * 2 * r
oder U = pi * d
d = 2r oder r = d / 2
weitere Formeln: Formel Kreis
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Ellipse:
. |
(a und b sind die Halbachsen)
Flächeninhalt: A = pi * a * b
weitere Formeln: Formel Ellipse
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regelmäßiges Sechseck:
1. alle Seiten gleich lang
2. alle Innenwinkel =120° |
Flächeninhalt: A = 3 / 2 * a² * √3
Umfang: U = 6 * a
weitere Formeln: Formel regelmäßiges Sechseck
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